北京大學自主招生數學題

　　家長是孩子zui.好的老師，

　　這是奧數君第1016天給出奧數題講解。

　　今天的題目是數論問題，

　　來自2016年北京大學自主招生考試，

　　詳細講解后初中二年級學生可以聽懂。

　　除因式分解的內容外，

　　小學5年級學生也可以聽懂。

　　題目(單項選擇題，4星難度)：

　　已知正整數a,b,c,d滿足ab=cd，則a+b+c+d有可能等于( )?

　　A.101 B.301 C.401 D.前三個都不對

　　輔導方法：

　　將題目寫給小朋友，

　　讓他自行思考解答，

　　若20分鐘仍然沒有思路，

　　再由家長進行提示性講解。

　　講解思路：

　　這道題屬于數論問題，

　　如果是不定項選擇題，

　　題目難度會很大;

　　現在是單項選擇題，

　　就容易處理多了。

　　先講一個做題的小技巧，

　　對于單項選擇題如果沒有思路，

　　可以從答案著手分析。

　　原題選項中的101,301,401這3個數，

　　101和401都是質數，

　　只有301不是質數，

　　如果不會做可直接猜測答案為301，

　　嚴格求解考慮從因式分解的角度著手。

　　總的解題思路是:

　　先考慮是否存在4個正整數m,n,p和q,

　　使mn=c,pq=d,mp=a,nq=b;

　　再考慮對a+b+c+d分解因式，

　　從而確定原題目的答案。

　　步驟1：

　　先思考第一個問題，

　　是否存在4個正整數m,n,p和q,

　　使mn=c,pq=d,mp=a,nq=b?

　　由于ab=cd，

　　故c的質因數一定使ab的質因數，

　　且不是a的因數就是b的因數。

　　對c分解質因數，

　　把其中屬于a的所有質因數相乘得到m,

　　把所有屬于b的所有質因數相乘得到n。

　　注意相乘過程遵循以下三條：

　　每個質因數只參加一次乘法，

　　如果某個質因數既屬于a也屬于b,

　　則只把該質因數在a的質因數中相乘;

　　若沒有屬于a的質因數則令m=1;

　　同樣若沒有屬于b的質因數則令n=1。

　　此時有m整除a,且n整除b。

　　令p=a/m, q=b/n，

　　則pq=ab/(mn)=ab/c=d,

　　顯然m,n,p,q就是滿足條件的4個數。

　　步驟2：

　　再思考第二個問題，

　　考慮原題目的答案。

　　在步驟1的基礎上，

　　把mn=c,pq=d,mp=a,nq=b代入可得：

　　a+b+c+d=mp+nq+mn+pq

　　=(m+q)(n+p),

　　由于m,n,p,q都是正整數，

　　故m+q和n+p都是不小于2的正整數，

　　因此(m+q)(n+p)是合數。

　　在101,301,401這3個數，

　　只有301=7*43是合數，

　　所以原題目的答案是B。

　　思考題(3星難度)：

　　能否找到兩個完全平方數a和b,使a+b=103?

　　獲得思考題答案方法：

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　　注：過4個月之后，關鍵詞回復可能失效。