家長是孩子zui.好的老師，
這是奧數君第1062天給出奧數題講解。
今天的題目是數論問題，
來自北京大學2009年自主招生考試，
詳細講解后初中1年級學生能聽懂。
題目(4星難度)：
某次考試共有333名學生做對了1000道題。做對3道及以下為不及格，6道及以上
為優秀。問不及格和優秀的人數哪個多?
輔導方法：
將題目寫給小朋友，
讓他自行思考解答，
若20分鐘仍然沒有思路，
再由家長進行提示性講解。
講解思路：
這道題屬于綜合應用題,
由于平均值1000/333更靠近3道，
故從直覺上就感覺優秀的人不多。
解題的方法有很多種，
既可以采用極端構造問題的方法，
構造極端條件來說明結論;
也可以采取不等式的方法嚴格說明。
采用第一種方法時很難說清楚，
容易出現表述不清的情況，
從而讓閱卷人誤解產生丟分。
今天我們采用不等式的方法解題。
假設不及格的人數為x，
優秀的人數為y，
中間的人數為z。
總的解題思路是：
先考慮x與y之間的不等式關系，
再通過討論得到x與y之間的大小。
步驟1：
先思考第一個問題，
考慮x與y之間的不等式關系。
先考慮總得分，
由于優秀的人每人最少答對6道，
故優秀的人共答對題目不少于6y道，
類似有中間的人共答對題目不少于4z道，
而不及格的人共答對題目不少于0道，
故6y+4z<=1000,
化簡即3y+2z<= 500。
接著由總人數可得x+y+z=333，
即z=333-x-y，代入上面不等式：
得到3y+666-2x-2y<= 500，
化簡得：y+166<= 2x。
步驟2：
再思考第二個問題，
考慮原題目得答案。
在步驟1的基礎上繼續思考，
對x與166的大小關系分類討論：
第一種情況，當x大于166時，
x最小是167，由于x+y不大于333，
故y一定不大于166，
這種情況顯然有x>y;
第二種情況，當x<=166時，
步驟1的不等式即y-x <= x-166,
此時有x-166 <=0,
故y-x <= x-166<= 0,即x >= y。
因此對上面兩種情況都有x >= y。
下面我們將說明x可能等于y：
如果有166個人每人做對6道題，
且有166個人每人做對0道題，
且有1個人做對4道題，
則此時x=y。
所以不及格的人數不少于優秀的人數。
思考題(2星難度)：
某次考試共有333名學生做對了1000道題。做對3道及以下為不及格，4道或5道為及格，6道及以上為優秀。問及格的人數和優秀的人數相比哪個多?
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