再說高考壓軸題應不應該用成題

　　您認為高考壓軸應不應該用成題?

　　2021年高考今天落下帷幕，各省試卷使用情況如網圖所示：

　　全國甲卷：云南、廣西、貴州、四川、西藏

　　全國乙卷：河南、山西、江西、安徽、甘肅、青海、內蒙古、黑龍江、吉林、寧夏、新疆、陜西

　　新高考一卷：山東、廣東、福建、江蘇、湖南、湖北、河北

　　新高考二卷：海南、重慶、遼寧、

　　地方自主命題省市：北京、天津、上海、浙江

　　迄今，已經出現了三份完整的試卷，分別為全國甲卷、乙卷和新高考一卷�，F在看來，壓軸題依然是成題。去年高考剛結束我就寫文章說過此話題(高考壓軸題應該不應該用成題?)，閱讀量為1.6萬，說明大家的關注度還是很高的，并做了個投票，有2644人參與了投票，結果如下:

　　從結果看僅有5%的人贊成用成題，11%的人無所謂，82%的人覺得不應該。今年投票繼續，看大家有沒有改變立場。

　　先說清楚兩個概念：

　　壓軸題：是指高考題中最難的兩個題，一般是最后兩個解答題(如果最后一題是選修題，則不算壓軸題)，通常是解析幾何和導數，有時候也可能是概率統計或者立體幾何等。

　　成題：一般指現成的題目，即已經在雜志書籍資料或者考試中出現過的題�？赡苁呛芙浀涞挠猩习倌甑慕Y構或者模型。

　　這三年高考數學全國卷壓軸題成題很多，而這兩年尤甚，幾乎所有的壓軸題都是成題，都能在常見的資料中找到出處。

　　先看全國甲卷的第20題:

　　此題結構優美、結論簡潔。但是是非常老的結構，一般稱為彭色列定理，相關的恒等式稱為歐拉察柏公式，本公眾號三年前的文章(《圓錐曲線中的歐拉察柏公式相關問題》)基本把相關問題總結完了，此文也收入了拙作《雞爪定理》[1]的附錄中。在此再溫習一下：

　　此結構對兩圓、及兩圓錐曲線都成立，甚至可以推廣到空間中。國內最早見到的是1982年高考壓軸題：

　　此題就是兩個拋物線的情形，證明完全類似，一般都是用韋達定理解決。

　　在前面的文章(《拋物線6——圓錐曲線講義之十七》)中，我又提到了這個題目和韋達定理的解法。

　　此題還作為2011年高中數學聯賽B卷一試的壓軸題考察過。

　　此類問題還作為2009年清華大學保送生考試試題，不難發現上述高考題和此保送生考試題幾無二致。

　　此題還作為2014年浙江的高考題考察過。

　　此結構人見人愛，作為高考、自主招生或者聯賽都很適合，2017協作體也作為聯賽模擬題考察過。

　　當然此結構還作為2009年江西高考文科的壓軸題考察過。

　　上述題目的證明思路基本都是如出一轍的利用韋達定理解決即可。具體解答過程可以參考上述我公眾號的文章。

　　下面看全國乙卷的最后一個壓軸題，

　　此結構也是很經典的，一般稱為阿基米德三角形，相關的文章汗牛充棟。我在圓錐曲線系列中研究過很多此三角形的性質，在文章(拋物線2——圓錐曲線講義之十三)中的問題8為:

　　8、動直線l過P與C交于A、B;過AB的切線交于M，(1)求M的軌跡方程

　　(2)求△MAB面積的最小值;

　　不難發現上述兩題異曲同工，基本思路都是設出切點坐標，求出交點及三角形面積表達式，到此都是完全相同的。然后將交點帶入限制條件中(我那題點在直線上運動，本題中點在圓上運動)，利用函數或均值不等式求出最值即可。

　　最后看新高考全國1卷的最后一個壓軸題：

　　這還是一個老生常談的問題，比較早的資料中都有，例如1983年出版的《數學題解辭典(平面解析幾何)》[2]中多次提到此結論，最后在一般的圓錐曲線中將其證明并系統的介紹其退化的情形如下：

　　其證明思路基本上要么用曲線系秒殺，要么用參數方程巧算，當然直接聯立蠻算亦可。

　　我在《圓錐曲線系列講義之九》也講到了此兩種情形，并提示用參數方程計算比較方便。

　　當然此結論在全國卷的高考題中也是屢見不鮮，例如

　　其退化的情形也是高考中的常見問題，例如：

　　2011年全國高中數學聯賽一試的最后一題為此題逆命題;

　　由以上不難發現此三個問題都是非常古老的問題，作為平時測試和練習非常合適。但是作為高考真題并不合適，因為這很不公平。對于熟悉此結構的學生基本就是默寫答案，而沒見過此結構的學生絞盡腦汁也無法在短時間內解決。

　　您覺得呢?

　　參考文獻

　　1 雞爪定理 金磊 2020年6月 哈爾濱工業大學出版社

　　2 數學題解辭典(平面解析幾何) 唐秀穎 1983年 上海 辭書出版社