源于高考的競賽題—— 圓錐曲線系列講義之22拋物線11

　　2019年高中數學聯賽一試的第10題如下：

　　此題圖形簡潔明了、結論優美，結構比較常見，思路很多，但是解決起來都不是很簡單，是一個難得的好題。

　　其解決思路主要是兩大類，要么著重用代數計算，要么著重用幾何意義(因為公切點及拋物線焦點的幾何性質很豐富)，當然最終還是要數形結合，綜合運用代數和幾何知識解決。

　　思路一：

　　設出圓心和A點坐標，依題意圓和拋物線在A處有共同的切線，由垂直和CA=r列出兩個方程，解出兩個未知數即可。

　　思路二：

　　聯立圓和橢圓，消去x，用y表示出r,依題意r為此表達式的最小值，求導或者不等式求出此最值即可。

　　解法二(參考答案的方法)：

　　思路三：

　　利用拋物線和圓的幾何性質，

　　可得△BAF為等邊三角形，由此即可求出r。

　　解法三：

　　設切線交x軸于B,A在x軸上投影為D，

　　C在AD上投影為E。

　　由BA,BF為圓的切線知BA=BF,

　　由本系列第14講(《拋物線3——圓錐曲線講義之十四》)第10題知FB=FA且OD=OB,

　　故△BAF為等邊三角形且FD=DO,

　　故CE=FD=2/3,

　　又∠CAE=60°,

　　注：

　　(1)上述三種解法各有千秋，殊途同歸。不過比較而言，第一種解法更自然也最簡潔。第二種方法雖然好想到，但是聯立消去y后不太好處理，只有想到r為其最值才能入手，求最值時上述均值不等式結果不太好湊出來，當然也可以用導數得到。解法三充分利用第10題的結果，得到等邊三角形后也可以由斜率求出A點坐標，不過那樣計算會麻煩不少。只需繼續使用第10題得到FD即可求出r。解法三計算量最小，但是要用到幾何性質，而且如果圓和x軸的切點不是焦點就沒法處理了。

　　(2)本題也能推廣到一般的拋物線中，如果和x軸切點為焦點，則結果比較漂亮。如果不是焦點，也能解出答案，不過有點復雜，有興趣的讀者可以自行研究。

　　(3)一般此類圓錐曲線間相切的問題都可以設出切點，用解法一得到他們有共同的切線，可以統一處理。

　　無獨有偶，圓錐曲線間相切的此類問題在高考和競賽中屢見不鮮，下面看一下本題的一個源頭：2012年高考大綱卷的21題.

　　思路分析：

　　設出A的坐標，求導得到過A的拋物線斜率，由圓和拋物線有共同的切線知MA和切線垂直，由此列出方程解出A坐標即可求出r。然后得到拋物線切線方程，由其和圓相切由點到直線距離公式得到等式，聯立拋物線兩條切線得到D點表達式，帶入即得解出D點坐標，最后求出D到l距離即可。

　　注：

　　(1) 本題是一個精妙的拋物線和圓相切的問題，首先必須利用切線斜率和MA垂直得到一個等式。下面難點是解方程。不過本題設計的很巧合，方程的根為0，這就大大降低了難度。

　　第二問必須設出拋物線切點，得到切線的一般方程，由其和圓相切得到圓心到直線距離為r。下一個難點還是在于展開并求解此四次方程。好在此方程有兩個解都是0。這就化為二次方程就能很容易解得了，當然這并不是巧合，因為一般的圓和拋物線會有四條公切線，而由第一問得到兩條內功切線重合，而且切點橫坐標為0，所以在解此四次方程的時候就能知道他必然有兩個零根，否則一定計算出錯了。還有本題中不需要計算出另外兩個拋物線切點的橫坐標，因為D的坐標只和兩根和及積有關，所以利用韋達定理能降低計算量。

　　(2) 比較而言，此題雖然是高考題，但是其難度是高于第一題的聯賽題的。所以我一直在說在解析幾何題上，競賽和高考之間沒有嚴格的界限，高考題可以作為競賽題，競賽題也可以作為高考題，你中有我，我中有你。很多時候高考解析幾何題的難度還會高于聯賽試題。

　　(3) 當然利用這個套路，本題還可以提升難度，利用把切點的坐標設計的更一般一點，利用其橫坐標可以為1，2等。這樣第一問就要解一個三次方程，必須通過試根來分解因式。這樣就能作為一個難度較高的競賽試題了。而且第二問中的四次方程，必然有兩個根均為第一問中的結果，所以也要合理的分解因式，難度就大大的增加了。當然更一般的，如果此三次方程沒有有理根，第一問三次方程就沒法解了。雖然理論上講，三次方程也有求根公式(一般稱為卡丹公式)，不過因為過于復雜，在高考和競賽中幾乎從來沒有考過一般的三次方程的解。所以我們在高考或者競賽中如果遇到解整系數三次方程，幾乎必然是存在整數根的，根幾乎必然在0,±1，±2，±3中，如果沒有這些根，估計你就計算出錯了。

　　本文又講解了兩個圓和拋物線公切線的問題，此類問題一般是比較困難的，不過一般的兩個曲線有wei/yi公共點的問題的套路都是設出切點坐標，然后由他們有共同的切線得出方程，解方程即可。

　　這樣拋物線系列文章基本告一段落了。后面再寫雙曲線有關的文章。