一年一度的中國數學奧林匹克(即數學冬令營，簡稱CMO)于11月22日至28日在湖南長沙長郡中學舉行。來自全國的近500名數學高手逐鹿中原，大顯身手。
昨天和今天早上8：00-12：30進行考試，每天三個題目。6個題目中今天的第4題為幾何題。題目如下：
WINTER
銳角△ABC中，AB>AC,M為其外接圓上劣弧BC中點，K為A的對徑點。過O作OD//AM交AB于D，交CA的延長線于E。直線BM交直線CK于P。直線CM交BK于Q。
求證：∠OPB+∠OEB=∠OQC+∠ODC
第一步，根據題意畫出準確圖形。
本題條件比較普通，沒有特別的限制，
按條件準確畫圖就行，沒什么難度。
但是要注意圖形中EOQ不共線。
第二步：老規矩，先從條件入手，看看圖
形中有哪些隱藏的性質。
由M為弧BC中點知AM為∠BAC角平分線，
由OD//AM知∠AED=∠ADE,
由直徑知∠ABK=∠ACK=∠AMK=90°,
當然還有OM⊥BC.
其他的似乎就是圓周角相等之類的性質了，
暫時沒有發現很好的結論了。
第三步：從證明結果入手。
這個結果還是比較奇怪的，
要證明兩個角的和等于另兩個角的和，
一定要把角度看清楚，
稍微看走眼就會南轅北轍、誤入歧途。
zui.好把這四個角都標記出來，
要證∠OPB+∠OEB=∠OQC+∠ODC
基本思路就是倒角，把這兩組角都倒
到某個三角形或者其他圖形中。
但是四個角似乎都不好倒出去，
沒法直接傳遞到其他的角。
如果根據四邊形內角和，把求證結論等價轉化為
∠PBA+∠POE=∠DOQ+∠DCQ,
還是沒法傳遞出去，似乎意義不大。
到這里就陷入了迷茫，分析法好像走不下去了。
第四步，下面只能結合求證，進一步挖掘已知圖形的性質了。
直接證明不行，估計要適當添加一些輔助線，
已知中最重要的線顯然是直線EO，可以考慮做出整個
直線，這樣它與圖形下半部分其他線也會相交。
還是希望倒角，我們先關注其中的一個，例如∠OPB,
最常用的倒角技巧當然是通過共圓，
在準確的圖形下面，似乎OBPG共圓，其中G為
OE和CK交點。這個倒角不難證明。
這應該是一個重要的結論，因為這樣就能把∠OPB和∠OEB
轉移到△EBG中，看到了希望!
對稱的QNOC共圓，其中N為OE，QB交點。
這樣本題就轉化為求證∠EBG=∠DCN。
第五步，至此把證明簡化了，應該在正確的道路上越走越遠了。
然而亂花漸欲迷人眼，
圖形太亂了，到了這里就能考慮消點，
就能把無關的P,Q,M及與他們相關的元素消去。
得到下圖，
條件變為：已知AK為直徑，過O的直線滿足AD=AE,
求證：∠EBG=∠DCN。
要證明此兩角相等，基本思路是倒角或相似，
但是似乎也都不太容易。
只能進一步挖掘圖形性質，
容易發現△BDN∼△CEG,
結合準確的圖形，可以大膽猜測，
圖形中還有很多等角，
即∠DBG=∠DCG,∠EBN=∠ECN。
由對稱性，只需證明第一個，
第六步：
這樣就能進一步消去點E，N及相關元素，
簡化圖形，得到下圖：
已知AK為直徑，求證∠DBG=∠DCG,
因為沒有其他條件了，證明的基本思路當然還是倒角，
考慮到圓周角，所以自然的思路是延長BG，CD交圓于I，J,
下面只需證明IOJ共線即可，而這顯然是帕斯卡定理。
這樣就能對稱的得到另一對等角，從而水落石出，本題得證。
第七步：
最后將證明過程整理好，書寫如下：
證明：設DO交CK,BK于G,N。CD,CN,BG,BE交圓于J,T,I,S，
由AK為直徑知∠ACK=90°，
由M為弧BC中點知AM為∠BAC角平分線，
結合OD//AM知
∠EGC=90°-∠AED=90°-∠CAM
=90°-∠BAM=∠OBP,
故OBPG共圓。
對稱的ONQC共圓。
對圓內接六邊形CKABIJ利用pascal定理知IJO共線。
故弧JK=弧IA，故∠DBG=∠DCG。故∠KBG=∠ACD。
對稱的，對CAKBST由pascal定理有SOT共線，
故∠EBN=∠ECN。
則∠EBG=∠DCQ。
故∠OGB+∠OEB=∠ONC+∠ODC
即∠OPB+∠OEB=∠OQC+∠ODC。
第八步：簡單總結。
綜合上面的思考過程，可以看出本題是一個難得的好題。
難度合適，題目新穎，既樸素自然，中規中矩，結果又出人意料，不落窠臼。
證明不太容易入手，四個角度都不好處理轉化，然而找到了入手點后，不需要太多過程。
當然本題思路比較多，應該還有更簡潔明了的證明方法。
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