又拖更了好久, 上次發Kürschák József的時候其實趙博士就發的是兩個文件給我, 但是上次發了之后懶了一天, 然后公司突然一大堆事情忙到前天. 中間的時候趙博士又給我發了今天這個錦標賽的題, 也是忙到沒時間整. 結果昨天趙博士又給我發了Metropolises的題... 感覺我再不翻出來趙博士要打人了...... emm, 反正我還有一大堆調休架, 大不了休息一天好了.
于是昨天半夜熬著把錦標賽翻出來了, Metropolises的題可能明天發, 因為昨天趙博士給我發的只有一半, 另一半還沒放出來, 那我還是等著完整版再發好了. 反正今天發的這個, 也算是突破我的歷史長度了 (吐血)...
不過u1s1, 這個比賽其實, 中間混進來了一大堆腦筋急轉彎題? 而且還是很俄式的腦筋急轉彎, 反正趙博士把俄文的答案也給我了, 那我就挨個提一下答案好了. 但是可以先說一下, 如果還是數學競賽的初學者的話, 可以做一下O初的P4, P5, O高的P3, P5, A初的P4, P6, P7, 還有A高的P4, P5和P7. 但是如果不是初學者的話感覺好像只有O高的P5, A初的P6, P7和A高的P5, P7可以做做看看. 不過下面還是按順序給答案好了.
O初P1. 小學題, 4次...
O初P2. 就, 設一下邊長硬解都可以, 答案是2,3,4,24.
O初P3. 每個袋子拿一顆出來, 就好了. 這題剛翻出來我都懷疑我翻錯了? 就? 這題感覺就應該放在第一題吧? 腦筋都不用轉彎都可以做......
O初P4. 就, 如果等腰三角形的底邊不是對角線的話, 那么邊形的這個內角就只能是銳角啊, 然后凸形的內角就只能有三個銳角...... 所以邊形的邊的話至多就只能分三段, 每段里面每條邊長度相等. 那么任意四條邊就有兩條相等.
O初P5. 反證. 如果存在兩個人執白贏的局數相同, 那么這兩個人就一定有一個人不比另一個人弱, 矛盾. 所以每個人執白贏的局數不同, 只能是, 也就是說有一個人執白贏了所有人. 同理也存在一個人執黑贏了所有人. 如果, 那么這人就不是不比任何人弱了, 這人直接比所有人都強... 所以, 那么這兩個人之間的執白執黑的棋局就只能兩人都獲勝, 矛盾. u1s1這題翻出來之后第一反應覺得是個圖論題, 而且要比較兩個競賽圖的度數, 不過這答案給出來的做法一點圖論的感覺都沒有, 還挺神奇的.
O高P1. 腦筋急轉彎題, 顯然好數沒有平方因子, 那么被整除的都不是, 所以至多連著三個, 然后顯然和都是, 所以三個.
O高P3. 答案是, 而且構造還挺好想的. 實際上初始狀態時, 甲如果只染一個格子的話, 顯然染中間那個是最優的, 染兩個格子的話腦補一下就應該想得到, 如果記中間的格子是的話, 那么染的就應該是和, 或者染豎向的對應格子. 然后證明我懶得看了, 畢竟答案是俄文的... 不過這個題如果改成初始是染三個格子的話還挺有趣的, 這難度一下子就彪起來了.
O高P4. 就... 垂心只能是滿足和構成正三角形的點, 這樣的話和的一共四種選擇得到的垂心還只有兩個, 固定圓這個說法就...... 莫名離譜? 因為雖然我不會幾何, 但也想得到對稱性, 怎么想這些垂心都在中垂線上, 那共的這個圓不就只能是廣義的了嗎? 結果好嘛, 設的可能位置為和, 結果是一個垂心組?
O高P5. 這個題還挺有趣的. 答案我都沒讀, 就看到答案里面一圖就懂了:
A初P1. 只能是和. 滿足數列為和.
A初P2. 都可以, 答案也是倆圖:
A初P3. 可能值只有. 這個一畫出圖來就懂了, 嗨在挺好做的. 不過這答案還給了四個解法....
A初P4. 這題翻出來之后第一感覺是這游戲能贏? 感覺兩方都可以惡意搞得對面贏不了才對啊? 結果答案真的是都贏不了... 不過這個答案給的操作有點猥瑣, 看了一下意思是每個人的操作都可以在數字末位加一個或使得對方下一步不可能贏. 比如現在數字是, 加了或之后變成或, 這樣的話平方數不可能以或結尾, 那么對方下一回合不在末尾加數字就贏不了. 于是對方就只能把數字變成或者, 但三位以上的平方數的話相差都不小于, 那么連著從到這個數字劈兩半總有一半一個平方數都沒有, 所以選好一點對方就沒法贏. 這么一想這個初始數字也就只能保證沒法開局贏, 剩下就是無限加數的內卷 (攤手).
A初P5. 紅大, 就是難得算一點點...... 反正這種題我應該會直接列方程算...
A初P6. 其實是一個腦筋急轉彎題, 考慮, 結果用整數的條件就有, 全部加起來就完了.
A初P7. 挺套路的題目. 反正先編號, 甲每次可以拿奇數號的也可以拿偶數號的, 但是甲拿完后乙就只能拿和甲相反的奇偶性號碼的面包. 然后不妨假設奇數號的果醬的至少十個, 然后先從奇數號開始拿, 考慮參數拿到的果醬面包數量+剩余的編號為偶數的果醬面包數量, 如果這個參數不超過的話就拿奇數的, 超過了的話就拿偶數的, 這樣就行了. 不過這個題, 英文版的題目是果醬面包和蜂蜜面包, 俄文答案里面寫的是加糖和加肉桂??? 這? 英語國家的人沒有cinnamon和sugar嗎?
A高P1. 拿. 就也不是看不上這題, 但是這個畫風真的感覺像是小學時候會在課外書上看到的那種智障一樣的智力測試題...
A高P2. 固定一條對角線, 歐拉路的起點和終點在棋盤染色下不同色, 所以一條對角線上不可能同時有終點又有起點. 于是車的所有步數中至少步會涉及對角線, 即要么從對角線出來, 要么走回對角線. 但是對角線旁邊的兩條次對角線只有個格子, 所以一定存在一個格子滿足條件.
A高P3. 答案是. 實際上不妨設甲初始位置為, 依次跳過位置向量為的朋友的話最終落地點的坐標為. 這樣的話實際上落地點個數等價于一半朋友加負號一半朋友加正號的選法.
A高P4. . 就, 硬分析討論的題, 還挺煩的.
A高P5. 幾何我就不評論了. 不過這題是個導角題, 就, 導一導就好了.
A高P7. a) 不一定, 意思是下圖中間那個紅四邊形的兩組對邊分別各自兩頭延長, 一頭相交, 另一頭拉老遠了截一下變成三角形, 于是就可以兩個三角形覆蓋表格, 但是任何一個格子都不是由一個三角形就蓋住了的. b) 一定, 但是答案分類討論了一頁, 我懶得看了, 這種題做起來也煩人. 要考CMO的同學可以考慮拿這個題練習一下寫東西, 畢竟, 說真的也不難, 但就是不好寫, 跟去年那個P2一樣, 所有人都算得出正確結果, 但是一堆3分6分的...
就這樣吧, 明天應該會發Metropolises的題, 只要官網放出來的話. 不過說起這個Metropolises, 之前在哪看到管這個叫大都會, 但是大都會這個題就一直給人一種大資產階級紙醉金迷的夜上海既視感? 行吧, 也不知道今年中國派哪個省去的.
另, 老龍前兩天發了伊朗幾何的題 (I, A), 大家去看看呀~
作者
偽同文算學 乙一
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